Числа. комплексные (мнимые) числа

Содержание

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме , или . Искомое число также запишем в показательной форме: . Используя определение операции извлечения корня и условия (1.8), получаем соотношения

или

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент разделить на показатель корня:

(1.16)

Теперь можно записать число в показательной форме:

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где :

(1.17)

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, .

Для решения уравнения нужно найти значений , а для этого необходимо найти и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа (значения ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на , так как , т.е. каждое последующее значение может быть получено из предыдущего поворотом радиуса-вектора точки на .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой , причем аргумент одного из значений равен (рис. 1.7).

Что такое реставрация дверей

Металлические входные двери пользуются большой популярностью, это объясняется их высокой надёжностью, прочностью, красивым внешним видом и большим сроком службы. Если установлена качественная конструкция, то она будет надежно служить на протяжении нескольких десятилетий. Во время эксплуатации входной двери, она подвергается негативному воздействию внешних факторов, поэтому со временем теряет свой первоначальный вид. Может возникнуть ситуации, когда был изменён дизайн дома внутри или снаружи и старая дверь в него не вписывается. В таких случаях не надо спешить менять входную дверь, её можно реставрировать, это не очень сложно и с такой работой можно справиться самостоятельно.

Перед тем как принимать решение о необходимости реставрации входной двери, сначала надо проверить её работоспособность, определить, сохранила ли она свои тепло- и звукоизоляционные характеристики. В большинстве случаев, конструкции полностью сохраняет работоспособность поэтому, чтобы её обновить, достаточно просто изменить внешний вид.

Намного дешевле реставрировать входную металлическую дверь, чем установить новую

При демонтаже старой двери и установке новой, придётся заново отделывать дверной проём, а это требует не только дополнительных средств, также в доме будет много пыли и мусора. Во время реставрации дверного полотна, его демонтаж проводить необязательно, такие работы непыльные и все можно сделать самостоятельно. В зависимости от выбранного способа реставрации, вам понадобится максимум до 40% от стоимости новой двери. Если у вас уставлены качественные двери, то не стоит спешить их заменить, вы рискуете приобрести конструкции низкого качества. Выполнив реставрацию входной двери, вы получаете красивое и надёжное решение, повышаете её звуко- и теплоизоляционные характеристики и при этом сэкономите значительные средства.

Комплексные числа — определение и основные понятия

Обычные числа представляют собой множество действительных чисел, для обозначения которых используют букву R. Каждое число из множества можно отметить на числовой прямой.

К действительным числам носят:

• целые числа;
• дроби;
• иррациональные числа.

Каждая точка на числовой прямой характеризуется некоторым действительным числом. Комплексное число является двумерным числом и записано в виде:

z = a + bi

Где а и b являются действительными числами, i представляет собой так называемую мнимую единицу.

Уравнение можно мысленно поделить на несколько частей:

• a — действительная часть (Re z) комплексного числа z;
• b — мнимая часть (Im z) комплексного числа z.

Следует отметить, что a + bi является единым числом, а не сложением. Места действительной и мнимой частей в уравнении можно менять:

z = bi + a

Мнимую единицу допускается переставлять:

z = a + ib

При таких операциях смысл выражения остается прежним. Однако стандартная запись комплексного числа имеет такой вид:

z = a + bi

Определение

Комплексным числом называют выражение a + bi, в котором а и b являются действительными числами, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2=-1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i записывают a. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Данное утверждение можно привести в виде геометрической интерпретации. Тогда комплексные числа изображают на комплексной плоскости.

С помощью R обозначаю множество действительных чисел. В случае, когда требуется обозначить множество комплексных чисел, принято использовать букву С. Наличие буквы С на чертеже говорит о том, что на нем представлена комплексная плоскость. Данная плоскость включает две оси:

Re z — является действительной осью;

Im z — представляет собой мнимую ось.

Правила оформления такого графика практически не отличаются от требований к чертежам для декартовой системы координат. По осям задают масштаб и отмечают:

• ноль;
• единицу для действительной оси;
• мнимую единицу i для мнимо оси.

С помощью комплексной плоскости можно построить заданные комплексные числа:

\(z_{1}=0\)

\(z_{2}=-3\)

\(z_{3}=2\)

\(z_{4}=i\)

\(z_{5}=-\sqrt{3}i\)

\(z_{6}=4i\)

\(z_{7}=2+3i\)

\(z_{8}=-4+i\)

\(z_{9}=-3-3i\)

\(z_{5}=-\sqrt{2}-i\)

Можно рассмотреть следующие комплексные числа:

\(z_{1}=0\)

\(z_{2}=-3\)

\(z_{3}=2\)

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Действительная ось Re z обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на данной оси расположены все числа с обычными свойствами. Можно сформулировать справедливое утверждение: множество действительных чисел R представляет собой подмножество множества комплексных чисел С.

Данные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых нулевая:

\(z_{1}=0\)

\(z_{2}=-3\)

\(z_{3}=2\)

Мнимые числа с нулевой действительностью, которые расположены на мнимой оси Im z:

\(z_{4}=i\)

\(z_{5}=-\sqrt{3}i\)

\(z_{6}=4i\)

Есть ряд чисел с ненулевыми действительной и мнимой частью:

\(z_{7}=2+3i\)

\(z_{8}=-4+i\)

\(z_{9}=-3-3i\)

\(z_{5}=-\sqrt{2}-i\)

Для их обозначения используют точки на комплексной плоскости. К таким точкам проводят радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы не принято чертить к числам, которые расположены на осях и сливаются с ними.

Решение системы линейных уравнений

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей  а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Практическое применение:

 

Ну, раз  бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа. 

 

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

 

Расчёт параметров стропильной системы

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел немного сложнее и заставляет задуматься:

А что значит перемножить два комплексных числа?

Самый простой способ понять мнимые числа — это интерпретировать умножение +1, -1 и √-1 (или, как Гаусс говорит прямые, обратные и боковые единицы) как вращение вокруг комплексной плоскости против часовой стрелки.

Умножение на +1

Умножение на +1 можно представить как вращение на 0˚ или 360˚ относительно начала координат, поскольку в любом случае вы вернетесь туда, откуда начали.

Умножение на +1

Умножение на -1

Умножение на -1 можно интерпретировать как вращение на 180˚ против часовой стрелки вокруг начала координат. Например, если я начинаю с 2 и умножаю на -1, Я заканчиваю на -2, что составляет 180˚ против часовой стрелки. И если я умножу -2 на -1, я вернусь к положительному 2.

Умножение на i или √-1

А теперь самое интересное.

Умножая на i или √-1 мы поворачиваем плоскость на 90˚. Вот здесь мнимые числа и вступают в игру.

Обратите внимание, что если я умножу 2 на i, я получу 2i, что является поворотом на 90˚

Если я умножу 2i на i, я получу 2i², что есть -2, так как i² фактически равно -1.

Итак, 2i ² = 2 (-1) или -2, еще 90° против часовой стрелки.

Умножение на i или √-1

Точно так же, -2 умноженное на i равно -2i, еще четверть оборота.

И наконец, -2i умноженное на i равно -2i² или -2(-1) что равно 2.

Мы могли бы продолжать умножать на i и вращаться вокруг плоскости, поэтому данный пример даёт нам шаблон, который повторяется каждые 4 цикла.

В общем, мы знаем, что
умножение на действительное число масштабирует значение, и мы чуть выше узнали,
что умножение на i поворачивает значение на 90° против часовой
стрелки, но как насчет этого?

Чтобы лучше понять, давайте распишем.

Хорошо, теперь мы можем выполнить сложение векторов. Первый вектор это (3+2i) (1), как мы рассмотрели выше (3+2i) поворачивается на 360˚, то есть остается на месте.

Теперь мы рассмотрим второй вектор (3 + 2i) (- 4i). Здесь происходит то же самое, что и с первым вектором: масштабирование и вращение. Вот как это происходит.

Сначала вектор (3 + 2i) умножаем на 4, и получаем (12 + 8i), этим мы растянули вектор (3 + 2i) в 4 раза.

Нам также нужно умножить на -i. Напомним, умножая на -i мы поворачиваем на 90˚ по часовой стрелке.

Теперь распишем полученное с помощью алгебры.

Последний шар — выполним сложение, перенеся параллельно начало одного вектора в конец другого.

Наш окончательный ответ 11 — 10i.

Теперь у вас может возникнуть вопрос, почему мы не можем просто решить все с помощью алгебры?

И это так, мы можем решить это с помощью алгебры. На самом деле, это самый эффективный способ решения задачи (хотя ему не хватает понимания, которое вы получаете от построения графиков). Поэтому мы предложили вашему вниманию оба пути решения.

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Определение комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида , где — действительные числа ; — число, квадрат которого равен минус единице ; число обозначается .

Числа и при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются ; — мнимая единица.

Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

Множество комплексных чисел обозначается , а — элемент данного множества.

Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т.е. , а именно при получаем — действительное число.

Число называется чисто мнимым.

Пример 1.1. Записать действительную и мнимую части чисел: .

Решение. .

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n — ой степени из числа  z , где  называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z .

(8)

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   z_k   при   k = 0 , … , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n — угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z₁   и   z₂ , отличающихся знаком:

z₂ = – z₁ .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

      Следовательно,

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

      Так как

то решения уравнения имеют вид

z₁ = – 1 + i ,       z₂ = – 1 – i .

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа .2. Записать формулу (1.17) при заданном значении .3. Выписать значения корней уравнения , придавая значения .

Пример 1.24. Решить уравнения: a) ; б) .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем .1. Определим модуль и аргумент числа .2. При полученных значениях и записываем формулу (1.17):

Заметим, что справа стоит — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса , одна из точек (соответствует ) . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: и — действительные числа.

б) Найдем .1. Определим модуль и аргумент числа .2. По формуле (1.17) имеем

3. Выписываем корни .

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например (при ) — это точка окружности , лежащая на луче . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения , для которого .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения при условие .

1. Находим модуль и аргумент числа .

2. По формуле (1.17) имеем: .

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение , при котором выполняется условие (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень (при ): .

(помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Деление комплексных чисел:

$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.421.  $(2+3i)(3-i).$

Решение:

$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$

Ответ: $9+7i.$

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$

Ответ: $24+22i.$

1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$

Решение.

$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$

 {jumi}

1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$

Решение.

$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$

Ответ: $\frac{14}{5}i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$

$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$

$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$

Ответ: $x=2; y=3.$

Домашнее задание.

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.422.  $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

Ответ: $-4i.$

1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$

Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$

1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$

Ответ: $i.$

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

Аналитическая геометрия

1. Длина отрезка по координатам x,y. Простенький калькулятор, вычисляющий длину вектора по формуле
2. Аналитическая геометрия. Мощный по своим характеристикам онлайн-калькулятор, который по координатам пирамиды определяет площадь грани, уравнения плоскостей, углы и др.
3. По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы
4. Площадь треугольника по координатам вершин.
5. Уравнение прямой по координатам вершин.
6. Угол между двумя прямыми
7. Внутренние углы треугольника
8. Расстояние от точки до прямой
9. Множество точек на плоскости (Составить уравнение множества точек на плоскости)
10. Условие коллинеарности векторов
11. Скалярное произведение векторов
12. Векторное произведение
13. Момент силы относительно начала координат
14. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
15. Объем пирамиды, построенной на векторах
16. Объем параллелограмма, построенного на векторах
17. Угол между двумя плоскостями
18. Уравнение параллельной прямой. Составляется уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой.
19. Уравнение перпендикулярной прямой.

Умножение комплексных чисел

Произведением чисел и называется число такое, что выполняются равенства . Обозначение: .

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений и , как двучленов:

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что .

Пример 1.5. Найти произведение комплексных чисел и .

Решение.

Пример 1.6. Найти сумму и произведение пары комплексных сопряженных чисел

Решение. Для чисел получаем

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел — числа действительные.

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (, , ), десятичные дроби (, , ), а также числа в экспоненциальной форме (, ).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
• Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
• Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
• Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
• Используйте стрелки (, , , ) для перемещения по элементам

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Решение. Обозначим . Для чисел и находим модули и аргументы: (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем и

Свойства операции комплексного сопряжения

Используя определение сопряженных чисел и правила нахождения суммы, произведения, частного комплексных чисел, можно установить справедливость следующих свойств операции комплексного сопряжения:

В двух последних равенствах и — многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно.

Пример 1.12. Вычислить , если и .

Решение. Используя свойство 4 из пункта 7, находим

Далее, производя деление, записываем число в алгебраической форме:

и подставляем в выражение для . Получаем

поэтому . Окончательно имеем: .

(помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).