Извлечение корней в python

Арифметические операции

Целые числа поддерживают следующие математические операции, которые отсортированы по убыванию приоритета:

№	Операция	Результат	Замечание
1		возводит x в степень y	(I)
2		возводит x в степень y по модулю z, где z – необязательный аргумент	(I)
3		возвращает кортеж с парой чисел	(II)
4		возвращает \(\bar{x}\) — число, которое комплексно сопряжено с \(x\)
5		преобразует re в комплексное число (по умолчанию )	(V)
6		преобразует x в вещественное число (число с плавающей точкой)	(V)
7		переобразует x в целое число, представленное в десятичной системе счисления	(V)
8		абсолютное значение (модуль) числа x
9		делает число x положительным
10		делает число x отрицательным
11		остаток от деления x на y	(II)
12		результат целочисленного деления x на y	(III) (II)
13		результат «истинного» деления x на y
14		произведение x и y
15		разность x и y
16		сумма x и y

Важно: приоритет математических операций выше побитовых логических операций и операций сравнения.

Замечания:

I. возведение \(0\) в степень \(0\) возвращает \(1\):

Извлечение корней четной степени из отрицательных чисел не вызывает ошибки, а возвращает комплексное число:

Использование в выражении слишком больших значений x и y типа может привести к ошибке OverflowError.

II. функция и операции , не работают для комплексных чисел. Для вас это может быть и очевидно, но не пользователя для которого вы пишите программу.

III. Данная операция всегда возвращает целое число, т.е. если число x можно представить в виде , то (r – остаток от деления). Так же следует иметь ввиду, что результат данной операции всегда округляется в сторону минус бесконечности:

Это немного сбивает с толку, но проверив результат по формуле , вы убедитесь что все верно.

IV. встроенная функция отбрасывает дробную часть вещественных чисел:

V. строго говоря эти функции не являются математическими, но они могут учавствовать в математических выражениях Python и поэтому должны обладать приоритетом.

Менеджеры контекста

PEP 343

• Определяет, что должен сделать менеджер контекста в начале блока, созданного оператором . Заметьте, что возвращаемое значение и есть то значение, с которым производится работа внутри .

• Определяет действия менеджера контекста после того, как блок будет выполнен (или прерван во время работы). Может использоваться для контроллирования исключений, чистки, любых действий которые должны быть выполнены незамедлительно после блока внутри with. Если блок выполнен успешно, , , и будут установлены в . В другом случае вы сами выбираете, перехватывать ли исключение или предоставить это пользователю; если вы решили перехватить исключение, убедитесь, что возвращает после того как всё сказано и сделано. Если вы не хотите, чтобы исключение было перехвачено менеджером контекста, просто позвольте ему случиться.

contextlib

Модуль Decimal

Синтаксис

Decimal обеспечивает поддержку правильного округления десятичной арифметики с плавающей точкой.

, в отличие от , имеет ряд преимуществ:

• работает так же, как школьная арифметика;
• десятичные числа представлены точно (в отличие от float, где такие числа как 1.1 и 5.12 не имеют точного представления);
• точность десятичного модуля Decimal можно изменять (с помощью );

Точность

Контекстом в Deciaml можно управлять, устанавливая свои значения. Например, для того, чтобы управлять точностью Decimal, необходимо изменить параметр контекста (от англ. precision – точность):

Округление

Округление осуществляется с помощью метода . В качестве первого аргумента – объект Decimal, указывающий на формат округления:

Важно: если точность округления установлена в , а формат округления , возникнет ошибка:

Чтобы избежать ее, необходимо поменять точность округления, как было сделано в примере выше:

Помимо первого параметра, quantize() принимает в качестве второго параметра стратегию округления:

• – округление в направлении бесконечности (Infinity);
• – округляет в направлении минус бесконечности (- Infinity);
• – округление в направлении нуля;
• – округление до ближайшего четного числа. Число 4.9 округлится не до 5, а до 4 (потому что 5 – не четное);
• – округление до ближайшего нуля;
• – округление от нуля;
• – округление от нуля (если последняя цифра после округления до нуля была бы 0 или 5, в противном случае к нулю).

Помните, что как округление, так и точность вступают в игру только во время арифметических операций, а не при создании самих десятичных дробей

Задания для самоподготовки

1. Реализовать
последний вариант алгоритма Евклида с помощью рекурсивной функции.

2. Написать
функцию нахождения максимального значения среди переданных аргументов:

arg1, arg2, …, argN

3. Реализовать
универсальную функцию для нахождения максимального или минимального значения
среди аргументов:

arg1, arg2, …, argN

с помощью
функции-селектора, указанной в виде лямбда-функции как один параметров функции
поиска.

Видео по теме

Python 3 #1: установка и запуск интерпретатора языка

Python 3 #2: переменные, оператор присваивания, типы данных

Python 3 #3: функции input и print ввода/вывода

Python 3 #4: арифметические операторы: сложение, вычитание, умножение, деление, степень

Python 3 #5: условный оператор if, составные условия с and, or, not

Python 3 #6: операторы циклов while и for, операторы break и continue

Python 3 #7: строки — сравнения, срезы строк, базовые функции str, len, ord, in

Python 3 #8: методы строк — upper, split, join, find, strip, isalpha, isdigit и другие

Python 3 #9: списки list и функции len, min, max, sum, sorted

Python 3 #10: списки — срезы и методы: append, insert, pop, sort, index, count, reverse, clear

Python 3 #11: списки — инструмент list comprehensions, сортировка методом выбора

Python 3 #12: словарь, методы словарей: len, clear, get, setdefault, pop

Python 3 #13: кортежи (tuple) и операции с ними: len, del, count, index

Python 3 #14: функции (def) — объявление и вызов

Python 3 #15: делаем «Сапер», проектирование программ «сверху-вниз»

Python 3 #16: рекурсивные и лямбда-функции, функции с произвольным числом аргументов

Python 3 #17: алгоритм Евклида, принцип тестирования программ

Python 3 #18: области видимости переменных — global, nonlocal

Python 3 #19: множества (set) и операции над ними: вычитание, пересечение, объединение, сравнение

Python 3 #20: итераторы, выражения-генераторы, функции-генераторы, оператор yield

Python 3 #21: функции map, filter, zip

Python 3 #22: сортировка sort() и sorted(), сортировка по ключам

Python 3 #23: обработка исключений: try, except, finally, else

Python 3 #24: файлы — чтение и запись: open, read, write, seek, readline, dump, load, pickle

Python 3 #25: форматирование строк: метод format и F-строки

Python 3 #26: создание и импорт модулей — import, from, as, dir, reload

Python 3 #27: пакеты (package) — создание, импорт, установка (менеджер pip)

Python 3 #28: декораторы функций и замыкания

Python 3 #29: установка и порядок работы в PyCharm

Python 3 #30: функция enumerate, примеры использования

Комплексные числа (complex)

В Python встроены также и комплексные числа:

Также для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.

В программировании мы всегда взаимодействуем с данными, которые не являются какой-то абстрактной субстанцией. Все данные разделяются по определенному типу. На предыдущих уроках мы узнали, про строки, списки, словари и о логическом типе данных. Сегодня, поговорим о самом базовом типе данных в Python — числах.

Почему нельзя свалить все данные в одну общую кучу и не заморачиваться с каждым типом по отдельности? Допустим, мы присвоили переменной a цифру 5: a = 5. А теперь представьте, что никакого разделения по типу данных нет. Так что находится в переменной: число или строка? Если 10 — это число, то с ним можно произвести математические действия. А если это строка, то мы имеем дело с текстом и тогда Python задействует совсем другие методы.

# объединение строк (конкатенация) d = ’10’ f = ‘негритят’ d + ‘ ‘ + f ’10 негритят’

Ключевой момент: У каждого типа данных свои методы.

Цифра 100 написанная без кавычек, относится к числовому типу данных. А цифра ‘100’ в кавычках — к строковому типу. С помощью синтаксиса, мы сообщаем Python, какой у нас тип данных. Числа в Python делятся на два вида: целое число и вещественное.

Для повторения значения

Предположим, вы хотите повторить определенное значение, вы можете создать итератор для повторяющегося значения, используя .

Например, если вы хотите построить последовательность вида , где i находится в диапазоне от 0 до 10, вы можете использовать эту функцию.

import itertools

data = list(zip(range(10), itertools.repeat(5)))
print(data)

Выход

Действительно, нам удалось легко сделать эту последовательность.

Другой пример, в котором эта функция полезна, — если вы пытаетесь построить квадраты с помощью map() в Python.

squares = list(map(pow, range(10), itertools.repeat(2)))
print(squares)

Выход

Видите, как легко мы смогли построить его с помощью .

Операции над числами

Манипуляции над числовыми значениями в языке программирования Python выполняются благодаря множеству различных операций, символьные обозначения которых, как правило, совпадают с аналогами из традиционной математики. Таким образом, можно прибавлять, отнимать, умножать, делить, находить остаток от деления и возводить в степень числовые значения любых разновидностей. Ознакомиться с основными типами операций, которые выполняются над цифровыми значениями, можно из следующей небольшой таблицы:

Операция	Назначение
a + b	Сложение a и b
a – b	Разница между a и b
a * b	Умножение a на b
a / b	Деление a на b
a % b	Остаток от деления a на b
a // b	Целая часть от деления a и b
a ** b	Возведение a в степень b

Помимо вышеперечисленных арифметических действий, над числами можно осуществлять битовые операции, которые задействуют их двоичное представление. Перечень подобных операций представлен в следующей таблице, где можно найти назначение каждой из них:

Операция	Назначение
a & b	Побитовое И для a и b
a | b	Побитовое ИЛИ для a и b
a ^ b	Исключающее ИЛИ для a и b
~a	Инверсия битов для a
a << b	Побитовый сдвиг влево для a на b
a >> b	Побитовый сдвиг вправо для a на b

Также для более эффективной обработки числовых данных в Python были добавлены особые методы, позволяющие всего за одно действие осуществлять множество сложных операций. К наиболее популярным из них относятся методы, предназначенные для быстрого нахождения квадратного корня, модуля, а также округления числа. Чтобы воспользоваться некоторыми арифметическими функциями, необходимо подключить стандартную библиотеку math при помощи вызова . Список популярных методов представлен в данной таблице:

Метод	Назначение
sqrt(a)	Квадратный корень из a
log(a)	Натуральный логарифм из a
fabs(a)	Возвращает модуль a
round(a)	Округляет a до ближайшего целого
round(a, b)	Округляет a до b знаков после точки
floor(a)	Округляет a до меньшего целого значения
ceil(a)	Округляет a до большего целого значения
isfinite(a)	Проверяет, является ли a числом
modf(a)	Возвращает целую и дробную части a
sin(a)	Синус угла a, указанного в радианах
cos(a)	Косинус угла a, указанного в радианах
tan(a)	Тангенс угла a, указанного в радианах

Функция fabs модуля math вначале пытается привести аргумент к вещественному типу (float), и только потом вычисляет модуль. Для вычисления модуля числа так же есть стандартная функция abs.

Ввод числа с клавиатуры

Для того чтобы получить числовые данные от пользователя используется стандартный метод input. Его вызов позволяет получать ввод информации с клавиатуры, который выполняется во время запуска программы на компьютере. В качестве аргумента для этого метода можно использовать строку, предлагающую пользователю ввести числовые сведения. Ниже показан пример того, как ввести в Pyhon с клавиатуры число. Переменная n получает значение и отображается на экране с помощью print:

n = input("Press n: ")
print("n = " + str(n))

Press n: 10
n = 10

Максимальное значение

Получить максимальное значение целочисленной переменной, которое поддерживается в текущей версии языка Python можно с помощью переменной sys.maxsize. Как правило, на разных компьютерах это число совпадать не будет из-за разной архитектуры процессоров. На данный момент из Python были убраны любые ограничения, касающиеся размерности вводимых величин. Вывести на экран максимальное число в Python можно следующим образом:

import sys
print(sys.maxsize)

9223372036854775807

Представление своих классов

Определяет поведение функции , вызванной для экземпляра вашего класса.

Определяет поведение функции , вызыванной для экземпляра вашего класса. Главное отличие от в целевой аудитории. больше предназначен для машинно-ориентированного вывода (более того, это часто должен быть валидный код на Питоне), а предназначен для чтения людьми.

Определяет поведение функции , вызыванной для экземпляра вашего класса. похож на , но возвращает строку в юникоде. Будте осторожны: если клиент вызывает на экземпляре вашего класса, а вы определили только , то это не будет работать. Постарайтесь всегда определять для случая, когда кто-то не имеет такой роскоши как юникод.

Определяет поведение, когда экземпляр вашего класса используется в форматировании строк нового стиля. Например, приведёт к вызову . Это может быть полезно для определения ваших собственных числовых или строковых типов, которым вы можете захотеть предоставить какие-нибудь специальные опции форматирования.

Определяет поведение функции , вызыванной для экземпляра вашего класса. Метод должен возвращать целочисленное значение, которое будет использоваться для быстрого сравнения ключей в словарях. Заметьте, что в таком случае обычно нужно определять и тоже. Руководствуйтесь следующим правилом: подразумевает .

Определяет поведение функции , вызванной для экземпляра вашего класса. Должна вернуть True или False, в зависимости от того, когда вы считаете экземпляр соответствующим True или False.

Определяет поведение функции , вызванной на экземпляре вашего класса. Этот метод должен возвращать пользователю список атрибутов

Обычно, определение не требуется, но может быть жизненно важно для интерактивного использования вашего класса, если вы переопределили или (с которыми вы встретитесь в следующей части), или каким-либо другим образом динамически создаёте атрибуты.

Определяет поведение функции , вызыванной на экземпляре вашего класса. Метод должен вернуть размер вашего объекта в байтах

Он главным образом полезен для классов, определённых в расширениях на C, но всё-равно полезно о нём знать.

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы в основном включает в себя переворачивание матрицы по соответствующим диагоналям, т. е. Меняет местами строки и столбцы входной матрицы. Строки становятся столбцами и наоборот.

Например: давайте рассмотрим матрицу A с размерами 3 × 2, т.е. 3 строки и 2 столбца. После выполнения операции транспонирования размеры матрицы A будут 2 × 3, т.е. 2 строки и 3 столбца.

основном выполняет транспонирование входной матрицы и создает новую в результате операции транспонирования.

Пример:

import numpy
 
matA = numpy.array()
print("Original Matrix A:\n")
print(matA)
print('\nDimensions of the original MatrixA: ',matA.shape)
print("\nTranspose of Matrix A:\n ")
res = matA.T
print(res)
print('\nDimensions of the Matrix A after performing the Transpose Operation:  ',res.shape)

Выход:

Original Matrix A:


 ]

Dimensions of the original MatrixA: (2, 5)

Transpose of Matrix A:
 

 
 
 
 ]

Dimensions of the Matrix A after performing the Transpose Operation: (5, 2)

В приведенном выше фрагменте кода я создал матрицу размером 2 × 5, т.е. 2 строки и 5 столбцов.

После выполнения операции транспонирования размеры результирующей матрицы составляют 5 × 2, то есть 5 строк и 2 столбца.

Различие округления в Python 2 и Python 3

В Python 2 и Python 3 реализованы разные принципы округления.

В Python 2 используется арифметическое округление. В нем наблюдается большое количество погрешностей, что приводит к неточностям в процессе вычислений.

Во втором Python есть только 4 цифры, которые ведут к преобразованию к меньшему значению – 1, 2, 3 и 4. Также 5 цифр, которые приводят к большему значению – 5, 6, 7, 8, 9. Такое неравное распределение ведет к тому, что погрешность постоянно нарастает.

Python 2 по правилам арифметического округления преобразует число 5,685 в 5,68 до второго знака. Такая погрешность связана с тем, что десятичные цифры float в двоичном коде невозможно корректно представить.

В Python 3 используются принципы банковского округления. Это означает, что преобразование производится к ближайшему четному. В таком случае также не удается полностью избежать возникающих ошибок, но программисты добиваются точности в подсчетах.

2,5 по правилам банковского преобразования будет равно 2, а 3,5 = 4 (значения возводятся к близкому четному). Минимизировать погрешности можно благодаря практически равной вероятности, что перед пятеркой будет четное или нечетное число.

Разделение строки с использованием разделителя

Python может разбивать строки по любому разделителю, указанному в качестве параметра метода . Таким разделителем может быть, например, запятая, точка или любой другой символ (или даже несколько символов).

Давайте рассмотрим пример, где в
качестве разделителя выступает запятая
и точка с запятой (это можно использовать
для работы с CSV-файлами).

print("Python2, Python3, Python, Numpy".split(','))
print("Python2; Python3; Python; Numpy".split(';'))

Результат:

Как видите, в результирующих списках
отсутствуют сами разделители.

Если вам нужно получить список, в
который войдут и разделители (в качестве
отдельных элементов), можно разбить
строку по шаблону, с использованием
регулярных выражений (см. ). Когда вы берете шаблон в
захватывающие круглые скобки, группа
в шаблоне также возвращается как часть
результирующего списка.

import re

sep = re.split(',', 'Python2, Python3, Python, Numpy')
print(sep)
sep = re.split('(,)', 'Python2, Python3, Python, Numpy')
print(sep)

Результат:

Если вы хотите, чтобы разделитель был частью каждой подстроки в списке, можно обойтись без регулярных выражений и использовать list comprehensions:

text = 'Python2, Python3, Python, Numpy'
sep = ','

result = 
print(result)

Результат:

Конструирование и инициализация.

Это первый метод, который будет вызван при инициализации объекта. Он принимает в качестве параметров класс и потом любые другие аргументы, которые будут переданы в . используется весьма редко, но иногда бывает полезен, в частности, когда класс наследуется от неизменяемого (immutable) типа, такого как кортеж (tuple) или строка. Я не намерен очень детально останавливаться на , так как он не то чтобы очень часто нужен, но этот метод очень хорошо и детально описан в .

Инициализатор класса. Ему передаётся всё, с чем был вызван первоначальный конструктор (так, например, если мы вызываем , получит и в качестве аргументов. почти повсеместно используется при определении классов.

Если и образуют конструктор объекта, это его деструктор. Он не определяет поведение для выражения (поэтому этот код не эквивалентен ). Скорее, он определяет поведение объекта в то время, когда объект попадает в сборщик мусора. Это может быть довольно удобно для объектов, которые могут требовать дополнительных чисток во время удаления, таких как сокеты или файловыве объекты. Однако, нужно быть осторожным, так как нет гарантии, что будет вызван, если объект продолжает жить, когда интерпретатор завершает работу. Поэтому не может служить заменой для хороших программистских практик (всегда завершать соединение, если закончил с ним работать и тому подобное)

Фактически, из-за отсутствия гарантии вызова, не должен использоваться почти никогда; используйте его с осторожностью!Замечание от переводчика: svetlov , что здесь автор ошибается, на самом деле всегда вызывается по завершении работы интерпретатора.

Арифметические операторы

Арифметические операторы обычно работают с числами. Есть операторы для сложения, вычитания, умножения, деления, модуля и экспоненциальных операций. Некоторые из этих операторов работают и со строками. Все арифметические операторы — специальные символы.

• +: оператор сложения;
• -: оператор вычитания;
• *: оператор умножения;
• /: оператор деления;
• **: экспоненциальный оператор;
• //: оператор деления этажей.

Давайте посмотрим на пример арифметических операторов в Python.

x = 15
y = 7

sum = x + y
print("addition =", sum)

subtraction = x - y
print("subtraction =", subtraction)

multiplication = x * y
print("multiplication =", multiplication)

division = x / y
print("division =", division)

modulus = x % y
print("modulus =", modulus)

exponent = x ** 2
print("exponent =", exponent)

floor_division = x // y
print("division =", floor_division)  # 2

Вывод:

Python поддерживает операторы сложения и умножения для строк.

print("addition of strings =", ("Python" + " " + "Operators"))
print("multiplication of strings =", ("Python" * 2))

Вывод:

addition of strings = Python Operators
multiplication of strings = PythonPython

Унарные арифметические операции

Унарное математическое выражение состоит только из одного компонента или элемента. В Python плюс и минус вместе со значением могут быть использованы в качестве одного элемента, это позволяет показать тождественность значения (+) или изменить его знак (-).

Тождественность используется нечасто. Плюс можно использовать с положительными числами:

Если вы используете плюс с отрицательным числом, он также вернёт тождественное (в этом случае – отрицательное) число.

Минус позволяет изменить знак. Если вы добавите минус к положительному значению, в результате будет отображено отрицательное значение:

Если добавить минус к отрицательному значению, в результате получится положительное число:

Абсолютная величина

Встроенная функция abs() возвращает абсолютную величину указанного числа. В математике абсолютная величина, или модуль числа – это неотрицательное число, выражающее расстояние от этого числа до нуля. Например, абсолютная величина 15 – это 15, а -75 – число 75. Абсолютная величина 0 равна 0.

Абсолютная величина – важный аспект вычислений и анализа.

Рассмотрим такой пример: вам нужно проехать 58 км, вместо этого вы проехали 93 км. Чтобы узнать, сколько км осталось, нужно вычесть из расстояния (58 км) количество километров, которое вы проехали (93 км). В данном случае в результате будет отрицательное число. Но проехать отрицательное количество километров невозможно. Попробуйте решить эту задачу с помощью abs():

Без функции abs() в результате получится -35, отрицательное число. Функция abs() возвращает положительное число, так как абсолютная величина всегда представлена положительным числом или нулём.

Например:

Функция abs() используется в тех ситуациях, когда результат не может быть отрицательным числом.

Сравнения

Операторы сравнения используются для сравнения двух значений. Результатом всегда является логическое значение — или .

Список операторов сравнения:

• ==: возвращает True, если оба значения равны.
• ! =: возвращает True, если оба операнда не равны.
• >: возвращает True, если левый операнд больше правого.
• <: возвращает True, если левый операнд меньше правого.
• > =: возвращает True, если левое значение больше или равно правому.
• <=: возвращает True, если левое значение меньше или равно правому значению.

Давайте посмотрим на пример.

x = 10
y = 20

print(f'equals = {x == y}')
print(f'not equals = {x != y}')
print(f'greater than = {x > y}')
print(f'less than = {x < y}')
print(f'greater than or equal to = {x >= y}')
print(f'less than or equal to = {x <= y}')

Вывод:

Эти операторы работают и со строками. Строка считается большей, чем другая строка, если она идет после нее лексикографически. Например, «Привет» больше, чем «Привет» при лексикографическом сравнении.

Контроль доступа к атрибутам

Вы можете определить поведение для случая, когда пользователь пытается обратиться к атрибуту, который не существует (совсем или пока ещё). Это может быть полезным для перехвата и перенаправления частых опечаток, предупреждения об использовании устаревших атрибутов (вы можете всё-равно вычислить и вернуть этот атрибут, если хотите), или хитро возвращать , когда это вам нужно. Правда, этот метод вызывается только когда пытаются получить доступ к несуществующему атрибуту, поэтому это не очень хорошее решение для инкапсуляции.

В отличии от , решение для инкапсуляции. Этот метод позволяет вам определить поведение для присвоения значения атрибуту, независимо от того существует атрибут или нет. То есть, вы можете определить любые правила для любых изменений значения атрибутов. Впрочем, вы должны быть осторожны с тем, как использовать , смотрите пример нехорошего случая в конце этого списка.

Это то же, что и , но для удаления атрибутов, вместо установки значений

Здесь требуются те же меры предосторожности, что и в чтобы избежать бесконечной рекурсии (вызов в определении вызовет бесконечную рекурсию).

выглядит к месту среди своих коллег и , но я бы не рекомендовал вам его использовать. может использоваться только с классами нового типа (в новых версиях Питона все классы нового типа, а в старых версиях вы можете получить такой класс унаследовавшись от )

Этот метод позволяет вам определить поведение для каждого случая доступа к атрибутам (а не только к несуществующим, как ). Он страдает от таких же проблем с бесконечной рекурсией, как и его коллеги (на этот раз вы можете вызывать у базового класса, чтобы их предотвратить). Он, так же, главным образом устраняет необходимость в , который в случае реализации может быть вызван только явным образом или в случае генерации исключения . Вы конечно можете использовать этот метод (в конце концов, это ваш выбор), но я бы не рекомендовал, потому что случаев, когда он действительно полезен очень мало (намного реже нужно переопределять поведение при получении, а не при установке значения) и реализовать его без возможных ошибок очень сложно.